back big

Mávnutí motýlím křídlem, deterministický chaos.

Mávnutí motýlím křídlem, deterministický chaos.

Některé fyzikální rovnice umožňují přesné předpovědi na velmi dlouhou dobu dopředu, pokud známe počáteční podmínky, můžeme snadno modelovat vývoj systému. Pokud ale nejsou rovnice popisující systém lineární, pak vývoj systému velmi záleží na počátečních podmínkách. Takovéto systémy jsou označovány jako derministický chaos.

Počáteční podmínky nemůžeme znát s nekonečnou přesností. A jakkoli malá nepřesnost na počátku způsobí, že po nějaké době se systém začne vyvíjet zcela odlišně, než jak to vypočteme. Říká se tomu efekt motýlího křídla a znamená to s nadsázkou, že mávnutí motýlího křídla v Austrálii může způsobit bouři nad Británií.

Nelineární rovnice popisují například vývoj počasí, pohyb více než dvou těles, která na sebe gravitačně působí, turbulentní proudění kapalin a další složité systémy.

Na horním křídle motýla je nakreslena homoklinická spleť, tj. výsledné dráhy vznikající vzájemným gravitačním působením tří těles. Vzájemné gravitační působení tří těles je typický problém, který nelze řešit analyticky. Dráhy těles velmi záleží na nastavení počátečních podmínek. Malá změna na počátku způsobí velkou změnu po několika iteracích.

Kromě toho zde vidíme Lorentzův atraktor, což je fraktální křivka, která se používá mimo jiné k předpovídání počasí, ale třeba i k modelování pohybů na burze. Lorentzův atraktor je vlastně křivka ve fázovém prostoru. Vznikne tak, že na jednu osu nanášíme třeba tlak, na druhou teplotu, na třetí vlhkost. Každý bod křivky odpovídá jednomu stavu systému – počasí. Křivky v Lorentzově atraktoru se nikdy neprotínají, počasí se nikdy neopakuje tak, že by všechny hodnoty byly naprosto stejné, proto se nikdy nedostaneme podruhé do stejného bodu a počasí se nevyvíjí nikdy stejně. Většinou křivka sleduje ostatní čáry vedle, ale v oblasti, kde se smyčky kříží, může dojít k náhlé a neodhadnutelné změně vývoje do jedné nebo druhé smyčky.

Na dolním křídle je bifurkační diagram. Je to diagram, který vzniká na základě logistické funkce x → kx(1-x). Logistická funkce je nejjednodušší funkce, která vykazuje chaotické chování. Bifurkační diagram vzniká tak, že na vodorovnou osu nanášíme parametr k v rozmezí hodnot od 2 do 4. V tomto rozmezí vidíme chaotické chování. Na začátku diagramu vidíme jednu čáru, to znamená, že při nízkých hodnotách parametru konverguje posloupnost k jedné hodnotě. Při určité hodnotě začne systém oscilovat mezi dvěma hodnotami, potom mezi čtyřmi, osmi a pak nabývá libovolného množství hodnot. Při zvětšujícím se parametru k ale někde opět narazíme na místa, kde je posloupnost osciluje mezi malým množstvím bodů. Tvar diagramu se opakuje v malém.

Křídla motýla jsou lemována Newtonovým fraktálem. Tento fraktál je výsledkem řešení rovnice x3-1 = 0 Newtonovou iterační metodou v komplexní rovině. Obrazce ukazují, které ze tří možných komplexních řešení dostaneme v závislosti na volbě počátečního bodu iterace. Hranice mezi řešeními má Hausdorfovu dimenzi větší než 2, takže se jedná o fraktál.

Proudění kapalin také vykazuje chaotické chování. Pokud se tři proudnice (nazývané separatisimy) překříží v jednom bodě, vznikne sedlo. Toto sedlo je však nestabilní a při malé perturbanci dojde ke změně uspořádání a výsledné proudění je znázorněno ve středu pampelišky.

  prev prevnext Next Next Next Next Next




(cc) copyleft - Creative Commons (by-sa)